正交矩陣具有以下特性：逆矩陣也是正交的，兩個正交矩陣的乘積也是正交的。正交矩陣的行列式的值為正1或負1。事實上，所有n×n正交矩陣構(gòu)成的集合滿足群的公理。這個集合是一個維度為n(n?1)/2的緊致李群，稱為正交群，記作O(n)。行列式為1的正交矩陣構(gòu)成了一個路徑連通的子群，指標為2的O(n)正規(guī)子群，稱為旋轉(zhuǎn)的特殊正交群，記作SO(n)。商群O(n)/SO(n)同構(gòu)于O(1)，具有行列式選擇[1]或[?1]的投影映射。帶有行列式為?1的正交矩陣不包括單位矩陣，因此它們不構(gòu)成子群，只是陪集；它們也是(分離的)連通的。因此，每個正交群可以分為兩個部分；由于投影映射的分裂，O(n)可以看作是SO(n)與O(1)的半直積。用常見術(shù)語來說，一個重要的陳述是任何正交矩陣都可以通過采用一個旋轉(zhuǎn)矩陣并可能取反它的一列來生成，就像在2×2矩陣中所觀察到的那樣。如果n是奇數(shù)，則半直積實際上就是直積，任何正交矩陣都可以通過采用一個旋轉(zhuǎn)矩陣并可能取反它的所有列來生成。